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阅读量:439 次
发布时间:2019-03-06

本文共 2560 字,大约阅读时间需要 8 分钟。

多源最短路径问题的求解方法

问题描述

多源最短路径问题是指在一个图中,从多个起点同时出发,找到到所有其他节点的最短路径。这一问题在交通路线规划、网络设计等领域有广泛应用。

使用Floyd算法的优势

Floyd算法(也称为Floyd-Warshall算法)是一种经典的全局规划算法。它的主要优势包括:

  • 时间复杂度:Floyd算法的时间复杂度为O(n^3),适用于节点数较多但边数相对较少的图。
  • 处理负权重:适用于存在负权重边的图,能够正确计算最短路径。
  • 处理多源最短路径:可以在一次Floyd算法运行中,计算从多个起点到所有其他节点的最短路径。
  • 问题解决思路

  • 图的表示

    • 使用二维数组road存储各节点之间的距离,初始化为-1表示未计算。
    • 对角线元素设为0,表示从一个节点到自身的距离为0。
  • 输入处理

    • 读取输入数据,构建无向图的邻接矩阵。
    • 将节点名称转换为唯一的索引,方便后续计算。
  • Floyd算法核心实现

    • 进行多次路径放松(relaxation),更新所有节点之间的最短路径。
    • 三重循环中,通过中间节点k,更新ij的最短路径。
  • 查询处理

    • 检查输入的两个节点是否存在。
    • 根据预处理的最短路径矩阵,查询两点之间的最短距离。
  • 代码实现细节

    核心算法实现

    void search() {
    for (int k = 0; k < cnt; ++k) {
    for (int i = 0; i < cnt; ++i) {
    for (int j = 0; j < cnt; ++j) {
    if (road[i][k] != -1 && road[k][j] != -1) {
    if (road[i][j] == -1) {
    road[i][j] = road[i][k] + road[k][j];
    } else {
    road[i][j] = min(road[i][j], road[i][k] + road[k][j]);
    }
    }
    }
    }
    }
    }

    节点查找函数

    int find(string pos) {
    for (int i = 0; i < cnt; ++i) {
    if (node[i] == pos) {
    return i;
    }
    }
    node[cnt] = pos;
    cnt++;
    return cnt - 1;
    }
    int find2(string pos) {
    for (int i = 0; i < cnt; ++i) {
    if (node[i] == pos) {
    return i;
    }
    }
    return -1;
    }

    主函数逻辑

    int main() {
    int c;
    cin >> c;
    while (c--) {
    for (int i = 0; i < 1500; ++i) {
    node[i] = "";
    }
    for (int i = 0; i < 1500; ++i) {
    for (int j = 0; j < 1500; ++j) {
    road[i][j] = -1;
    }
    }
    for (int i = 0; i < 1500; ++i) {
    road[i][i] = 0;
    }
    cnt = 0;
    string s, t;
    int d;
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
    cin >> s >> t >> d;
    int a = find(s);
    int b = find(t);
    road[a][b] = d;
    road[b][a] = d;
    }
    search();
    cin >> s >> t;
    int a = find2(s);
    int b = find2(t);
    if (a == -1 || b == -1) {
    if (s == t) {
    cout << 0 << endl;
    } else {
    cout << -1 << endl;
    }
    } else {
    cout << road[a][b] << endl;
    }
    }
    }

    代码解释

  • 初始化

    • 使用node数组存储节点名称。
    • 使用road二维数组存储节点间距离,初始化为-1表示未计算。
  • 输入处理

    • 读取节点数n,逐个读取边的信息,更新road数组。
  • Floyd算法运行

    • 进行三重循环的路径放松,更新所有节点之间的最短路径。
  • 查询处理

    • 检查输入节点是否存在,输出最短距离或无解信息。
  • 总结

    通过上述方法,我们可以有效地解决多源最短路径问题。Floyd算法的多次路径放松确保了计算的准确性,同时能够处理图中存在负权重边的情况。在实际应用中,可以根据具体需求调整算法参数,进一步优化性能。

    转载地址:http://xcnyz.baihongyu.com/

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